Visualizzare le Funzioni sinusoidali Parametriche: Un Viaggio tra Matematica e Grafica con Python

Il mondo della visualizzazione scientifica offre numerosi strumenti per comprendere meglio fenomeni matematici complessi. Uno degli esempi più affascinanti di questa intersezione tra matematica e grafica è la creazione di tracciati parametrici attraverso l’uso di curve polari. Il codice che presentiamo qui è un ottimo esempio di come visualizzare in modo dinamico equazioni trigonometriche complesse, in particolare le spirali sinnusoidali. Esso combina calcoli matematici, tecniche di programmazione avanzata e grafica per fornire una rappresentazione visiva del comportamento delle funzioni coseno parametrizzate. Ma andiamo con ordine, esplorando l’idea alla base, l’utilità didattica e l’implementazione di questo codice.

L’idea di fondo di questo codice è piuttosto semplice, ma estremamente potente: si vuole rappresentare una funzione trigonometricamente parametrizzata nella forma ( \(r = \sin\left(\frac{n}{m} \theta\right)\) ), dove ( n ) e ( m ) sono parametri interi che definiscono rispettivamente il numeratore e il denominatore del rapporto tra la frequenza angolare e l’angolo polare (\( \theta \) ). Questi parametri determinano la complessità delle spirali tracciate e il numero di rotazioni complete all’interno di ciascun grafico. Per ciascuna combinazione di ( n ) e ( m ), il grafico polare genera un’orbita trigonometricamente regolare che si evolve seguendo il parametro ( \(\theta\) ) da ( 0 ) a ( \(2\pi \times k\) ), con ( k ) definito come ( \(k = (m + 1) \cdot \text{gcd}(m+1, n+1)\) ), dove ( \(\text{gcd}\) ) è il massimo comune divisore. Questa funzione guida il tracciato di ciascun grafico nel sistema polare, creando un pattern di curve regolari ma variamente intricate, dipendenti dai valori di ( n ) e ( m ).

k = (m + 1) * math.gcd(m + 1, n + 1)  # Numero di giri proporzionale al gcd tra m e n
theta = np.linspace(0., 2 * np.pi * k, n_points)  # Valori angolari theta distribuiti su k cicli
r = np.sin((n + 1) / (m + 1) * theta)  # Funzione cosinusoidale parametrizzata

Da un punto di vista didattico, questo codice è un eccellente strumento per esplorare diversi concetti di matematica avanzata. La visualizzazione grafica delle funzioni cosinusoidali consente di comprendere meglio il comportamento delle equazioni trigonometriche, in particolare il modo in cui la variazione dei parametri ( n ) e ( m ) influenza il grafico polare. In ambito educativo, questo tipo di visualizzazione è utilissimo per spiegare concetti come la periodicità, le armoniche e le orbite chiuse in geometria polare. Studenti di matematica e fisica possono utilizzare questi strumenti per capire come le funzioni trigonometriche si comportano sotto diverse parametrizzazioni, e possono sperimentare in tempo reale come la scelta di determinati parametri modifichi i tracciati grafici.

axs[n, m].plot(theta, r, color="#383b3e", linewidth=0.5)  # Tracciato della curva su un piano polare
axs[n, m].set_rlim([-1.1, 1.1])  # Imposta i limiti di raggio per uniformità visiva

L’implementazione del codice è interamente realizzata in Python, sfruttando le librerie numpy e matplotlib, due strumenti fondamentali per la comunità scientifica. Numpy fornisce un’efficiente manipolazione degli array numerici e consente di generare i valori di ( \theta ) in modo semplice e scalabile. La libreria matplotlib, invece, permette la creazione di grafici sofisticati in modo rapido e versatile, grazie alla sua capacità di gestire grafici polari e personalizzare ogni aspetto della visualizzazione. Il cuore del codice risiede nel ciclo che attraversa ciascuna combinazione di ( n ) e ( m ), generando una curva polare per ogni subplot della griglia. Ogni curva è definita da una particolare funzione coseno che dipende dal rapporto tra ( n ) e ( m ), il che introduce una varietà di forme grafiche eleganti che si arricchiscono man mano che si esplorano valori più alti di ( n ) e ( m ).

N = 20  # Numero di righe
M = 20  # Numero di colonne
fig, axs = plt.subplots(N, M, figsize=(10, 10), subplot_kw={'projection': 'polar'})  # Griglia di grafici polari

Oltre alla bellezza visiva e all’utilità didattica, il codice mostra anche l’importanza dell’ottimizzazione nella programmazione scientifica. Invece di calcolare manualmente ciascun valore di ( r ) e ( \theta ) per ogni grafico, il codice utilizza la funzione gcd per garantire che il numero di giri completi della spirale sia proporzionato, evitando calcoli ridondanti e massimizzando l’efficienza computazionale. Inoltre, la personalizzazione dei plot in termini di colori, linee e layout grafico, oltre all’eliminazione dei tick sui bordi degli assi, rende i risultati finali più chiari e facilmente interpretabili.

axs[n, m].tick_params(bottom=False, top=False, left=False, right=False, labelbottom=False, labeltop=False, labelleft=False, labelright=False)  # Rimozione dei tick per semplificare la visualizzazione
axs[n, m].set_facecolor("#f4f0e8")  # Colore di sfondo dei grafici

In questo modo, non solo il codice risulta un potente strumento didattico, ma permette anche di visualizzare in maniera esteticamente affascinante il comportamento di funzioni trigonometriche complesse.