I Numeri di Jacobsthal…

Gli studi matematici, lungo i secoli, hanno prodotto una varietà di sequenze numeriche affascinanti. Una di queste è la sequenza di Jacobsthal, spesso oscurata dalla sua controparte più celebre, la sequenza di Fibonacci. Tuttavia, la sequenza di Jacobsthal ha delle proprietà uniche che la rendono degna di esame.

I numeri di Jacobsthal sono definiti dalla seguente relazione di ricorrenza:

Proprietà e Caratteristiche

1. Crescita esponenziale: Sebbene inizino con valori piccoli, i numeri di Jacobsthal crescono esponenzialmente. La loro crescita è influenzata dal fattore 2 nella formula di ricorrenza.
2. Relazione con la sequenza di Fibonacci: Esiste una relazione diretta tra i numeri di Jacobsthal e quelli di Fibonacci. È possibile esprimere un numero di Jacobsthal in termini di numeri di Fibonacci.
3. Coefficiente binomiale: Un’altra interessante proprietà dei numeri di Jacobsthal è la loro relazione con il coefficiente binomiale, particolarmente nel conteggio delle combinazioni in cui elementi adiacenti sono esclusi.

Applicazioni e Significato

1. Combinatoria: I numeri di Jacobsthal sono utilizzati in combinatoria, in particolare nel conteggio delle stringhe di lunghezza (n) formate da 0 e 1, dove due 1 non possono essere adiacenti.
2. Studi di Tiling: Un’area che beneficia dell’utilizzo dei numeri di Jacobsthal è la teoria dei rivestimenti. Questi numeri possono rappresentare il numero di modi in cui una griglia \(1 \times n\) può essere ricoperta da piastrelle di dimensioni \(1 \times 1\) e \(1 \times 2\).
3. Numero di Sottosequenze: I numeri di Jacobsthal sono legati al conteggio delle sottosequenze di una sequenza data, con restrizioni particolari sugli elementi adiacenti.

La sequenza di Jacobsthal, in conclusione, pur essendo meno conosciuta rispetto ad altre sequenze famose, detiene un fascino matematico e ha diverse applicazioni pratiche. L’analisi della sua crescita, delle sue proprietà e delle sue relazioni con altre sequenze rivela l’interconnettività intrinseca dei concetti matematici e il loro potere di descrivere fenomeni complessi in modi sorprendentemente semplici.

Il codice Python, qui riportato, stampa la sequenza dei numeri di Jacobsthal fino a n:

def jacobsthal(n):
    if n == 0:
        return 0
    elif n == 1:
        return 1
    else:
        return jacobsthal(n-1) + 2*jacobsthal(n-2)

def stampa_jacobsthal_fino_a(n):
    for i in range(n+1):
        print(jacobsthal(i))

# Test
n = int(input("Inserisci n: "))
stampa_jacobsthal_fino_a(n)