Simulazione della Propagazione dell’Onda utilizzando il Metodo delle Differenze Finite

1. Equazione delle Onde

L’equazione delle onde unidimensionale è una seconda equazione differenziale parziale (PDE) data da:

$\frac{{\partial^2 u}}{{\partial t^2}} = c^2 \nabla^2 u$

dove $u$ è l’ampiezza dell’onda, $t$ è il tempo, $c$ è la velocità della propagazione dell’onda e $\nabla^2$ è l’operatore laplaciano. In due dimensioni, l’operatore laplaciano $\nabla^2$ diventa:

$\nabla^2 u = \frac{{\partial^2 u}}{{\partial x^2}} + \frac{{\partial^2 u}}{{\partial y^2}}$

2. Metodo delle Differenze Finite

Per risolvere questa equazione, utilizziamo il metodo delle differenze finite. La griglia è composta da nodi puntiformi separati da $\Delta x$ nello spazio e $\Delta t$ nel tempo. Applichiamo differenze finite centrate per approssimare le derivate seconde nello spazio e nel tempo:

$\nabla^2 u \approx \frac{{u^n_{i+1, j} + u^n_{i, j+1} – 4u^n_{i,j} + u^n_{i-1, j} + u^n_{i, j-1}}}{{\Delta x^2}}$

Dove $u^n_{i,j}$ rappresenta l’ampiezza dell’onda al nodo $(i, j)$ al tempo $n$.

3. Condizioni Iniziali e al Contorno

Nel codice, utilizziamo una griglia quadrata $N \times N$ con $N = 256$. La condizione iniziale è $u = 0$ su tutta la griglia. Le condizioni al contorno sono:

1. $u = 0$ sui bordi della griglia.
2. $u$ è fissato a 0 in una “barriera” posta all’interno della griglia.
3. $u = \sin(20\pi t) \cdot \sin^2(\pi x)$ lungo il bordo superiore della griglia.

4. Commenti sul Codice Python

Nel codice, l’array U rappresenta l’ampiezza dell’onda $u$ su ogni punto della griglia. Utilizziamo un ciclo while per avanzare la simulazione nel tempo fino a tEnd.

Nota:

• Per conservare le informazioni sul colore nell’animazione GIF, utilizziamo la mappa dei colori di Matplotlib (cmap) per convertire i dati normalizzati in un array RGBA. Poi, creiamo un’immagine PIL RGBA da questo array.

Questo approccio fornisce un metodo numerico per simulare la propagazione delle onde in un dominio bidimensionale soggetto a varie condizioni iniziali e al contorno.