Gli insiemi di Julia sono un famoso esempio di frattali, che formano una classe di oggetti matematici complessi e intricati. Sono definiti come l’insieme dei punti nel piano complesso che rimangono limitati sotto l’iterazione di una funzione quadratica complessa del tipo ( f(z) = z^2 + c ), dove ( c ) è un parametro complesso. Variazioni nel valore di c producono frattali con strutture estremamente diverse e spesso sorprendenti.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 | import numpy as npimport matplotlib.pyplot as plt# Impostazioniwidth, height = 800, 800max_iter = 256xmin, xmax = -1.5, 1.5ymin, ymax = -1.5, 1.5# Lista di numeri complessi cc_values = [ complex(-0.7, 0.27015), complex(0.355, 0.355), complex(-0.4, 0.6), complex(0.37, 0.1), complex(-0.70176, -0.3842), complex(-0.835, -0.2321), complex(-0.8, 0.156), complex(-0.7269, 0.1889), complex(0.3, 0.5)]# Creare una griglia di valori complessix, y = np.linspace(xmin, xmax, width), np.linspace(ymin, ymax, height)z_values = np.array(np.meshgrid(x, y)).reshape(2, -1).Tz_values = z_values[:, 0] + 1j * z_values[:, 1]# Inizio del grafico 3x3fig, axes = plt.subplots(3, 3, figsize=(12, 12))for i, c in enumerate(c_values): row = i // 3 col = i % 3 ax = axes[row, col] # Calcolo del frattale Julia z = z_values.copy() image = np.zeros(z.shape, dtype=float) mask = np.ones(z.shape, dtype=bool) for k in range(max_iter): z[mask] = z[mask] * z[mask] + c mask = np.logical_and(mask, np.abs(z) < 8) image += mask.astype(float) image = image.reshape((width, height)) # Visualizzazione del frattale Julia ax.imshow(image, extent=(xmin, xmax, ymin, ymax), cmap="hot") ax.set_title(f"c = {c}")plt.show() |
Il codice fornito rappresenta una visualizzazione grafica di nove diversi insiemi di Julia utilizzando la libreria Matplotlib in Python. Ecco una spiegazione dettagliata delle componenti principali:
- Impostazione della Griglia: La griglia di valori complessi è creata utilizzando
np.linspaceper generare vettori di valori reali e immaginari, e questi sono combinati in un array di numeri complessi. La griglia rappresenta i punti nel piano complesso che verranno iterati. - Iterazione e Calcolo del Frattale: Per ogni valore di ( c ) nell’elenco di numeri complessi
c_values, l’algoritmo itera la funzione ( f(z) = z^2 + c ) su ogni punto della griglia. Utilizza una maschera logica (mask) per tracciare quali punti rimangono limitati attraverso le iterazioni. L’immagine finale viene costruita sommando i valori della maschera attraverso le iterazioni, dando un’indicazione della velocità con cui i punti divergono. - Visualizzazione: La griglia di output è ridimensionata in una forma che corrisponde alla risoluzione dell’immagine e viene visualizzata utilizzando
imshow. La mappa dei colori “hot” è scelta per rappresentare i valori, con i colori che indicano la velocità di divergenza dei punti. - Strutturazione del Grafico: Il codice utilizza una griglia di grafici 3×3, utilizzando
plt.subplots, per mostrare i nove diversi frattali associati ai valori inc_values. Ogni grafico è etichettato con il valore corrispondente di ( c ).
Il codice, in estrema sintesi, sfrutta le capacità di calcolo vettoriale di NumPy e le funzionalità di visualizzazione di Matplotlib per esplorare e visualizzare una famiglia di frattali complessa e affascinante. Le scelte di progettazione mirano a fornire un’analisi efficiente e una rappresentazione chiara e accattivante degli insiemi di Julia, illustrando come piccole variazioni nel parametro ( c ) possano produrre strutture notevolmente diverse.
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