Exploration of Julia Sets: A Computational Approach to Fractal Visualization…

^{The article outlines the theory and implementation of Julia sets, exploring the generation of these fractals through a computational approach. Using Python and NumPy, the text illustrates the iterative dynamics of quadratic functions in the complex plane, highlighting the design choices and numerical techniques adopted to visualize these intricate mathematical objects.}

Gli insiemi di Julia rappresentano una famiglia notevole di frattali complessi, che emergono dalla dinamica iterativa di funzioni quadratiche del tipo ( \(f(z) = z^2 + c\) ), codificata dalla funzione f(z, c):

def f(z, c):
    return z**2 + c

dove ( z ) è una variabile complessa e ( c ) è un parametro complesso costante. Questi insiemi hanno trovato applicazioni in vari campi, come la grafica al computer, la dinamica dei fluidi e i sistemi dinamici non lineari. La visualizzazione degli insiemi di Julia richiede un’analisi accurata delle orbite dei punti nel piano complesso sotto l’azione iterativa della funzione ( f ), come illustrato nel seguente frammento di codice:

for i in range(max_iter):
    Z_new = f(Z[mask], c)
    not_inf_mask = np.abs(Z_new) < 1000 # Set a limit to avoid overflow
    mask[mask] = not_inf_mask
    img[mask] += 1
    Z[mask] = Z_new[not_inf_mask]

Il parametro max_iter controlla il numero di iterazioni, mentre le variabili width e height determinano la risoluzione dell’immagine risultante, definita all’inizio del codice:

width, height = 800, 800

La scelta di utilizzare un limite di 1000 sulla norma dei valori iterati impedisce l’overflow numerico e la funzione np.log è impiegata per migliorare la visibilità dei dettagli fini:

img = np.log(img + 1)

L’intero codice è progettato per essere efficiente e scalabile, sfruttando le operazioni vettorializzate di NumPy e creando un insieme di immagini corrispondenti a diversi valori del parametro ( c ), come mostrato nel ciclo di creazione delle immagini:

for i in range(4):
    for j in range(4):
        c = (i * 4 + j) * 0.1 + 0.5j
        img = julia_set(width, height, x_min, x_max, y_min, y_max, c, max_iter)
        axes[i, j].imshow(img, extent=(x_min, x_max, y_min, y_max), cmap='hot')

Questo approccio, che mescola la matematica complessa con l’analisi numerica e la visualizzazione grafica, incarna un esempio paradigmatico dell’intersezione tra matematica pura e applicata, offrendo una potente metodologia per esplorare e comprendere la complessa struttura degli insiemi di Julia, che sono stati oggetto di profondo studio nel campo della dinamica complessa.