Sulla irrazionalità delle radici quadrate dei numeri naturali non quadrati.

Sia $d$ un numero e $n \in {\mathbb{N}^ + }$ tale che:

${n^2} < d < {\left( {n + 1} \right)^2}$

ovvero:

$n < \sqrt d < \left( {n + 1} \right)$

e quindi:

$0< \sqrt{d}-n<1$

Per assurdo, sia

$\sqrt d = \frac{p}{q}{\text{ con }}p,q \in {\mathbb{N}^ + }$

Più precisamente, assumeremo che $q$ sia il minimo dei possibili denominatori per queste espressioni razionali di $\sqrt d$ e quindi assumiamo che sia il minimo $q$ tale che $q \sqrt{d}=p \in \mathbb{N}^{+}$.

Quindi:

$\left( {\sqrt d – n} \right)q\sqrt d = qd – nq\sqrt d \in {\mathbb{N}^ + }$

e pertanto, essendo $\sqrt{d}-n<1$ dev’essere:

$\left( {\sqrt d – n} \right)q < q$

contro il fatto che, per ipotesi, $q$ è il minimo dei possibili denominatori per la rappresentazione razionale di $\sqrt d$.